Seção 11

Polinômios

intermediário

P (x) = D (x) Q (x) + R (x), de g R < de g D

Divide polinômios com quociente e resto.

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Teorema do resto

intermediário

P (x) \div (x - a) \Rightarrow R = P (a)

O resto ao dividir por x-a é P(a).

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Teorema do fator

intermediário

P (a) = 0 ⟺ (x - a) es factor de P (x)

Relaciona raízes e fatores lineares.

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Fatoração por raízes

intermediário

P (x) = a_{n} k = 1 \prod n (x - r_{k})

Fatoração completa sobre um corpo que contém as raízes.

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Fórmulas de Vieta

intermediário

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a}; r_{1} r_{2} = \frac{c}{a}

Relaciona as raízes e os coeficientes de uma quadrática.

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Teorema da raiz racional

intermediário

r = p / q \Rightarrow p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}

Restringe os candidatos racionais para raízes de um polinômio inteiro.

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Polinômio multivariável

intermediárioviz

P (x_{1}, \dots, x_{n}) = α \sum c_{α} x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}},

Generaliza polinômios de variável única para expressões em diversas variáveis algébricas.

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onde $α = (α_{1}, \dots, α_{n})$ é um índice múltiplo de inteiros não negativos.

Multi-índice e grau total

intermediárioviz

x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}},

Forma equivalente

∣ α ∣ = α_{1} + \dots + α_{n} .

Forma equivalente

de g P = c_{α} \neq = 0 max ∣ α ∣.

Mede o grau de termos multivariáveis somando seus expoentes.

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seu grau total é

O grau total de um polinômio diferente de zero é

Polinômio homogêneo

intermediárioviz

Exemplo

P (x, y) = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}

Forma equivalente

P (t x_{1}, \dots, t x_{n}) = t^{d} P (x_{1}, \dots, x_{n}) .

Cada termo tem o mesmo grau total.

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é homogêneo de grau $2$ .

Uma propriedade característica é

Sistema de equações polinomiais

avançadoviz

⎩ ⎨ ⎧ P_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 ⋮ P_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0.

Encontra pontos que satisfazem simultaneamente vários polinômios.

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Matriz resultante e Sylvester

avançadoviz

Para dois polinômios univariados $f \(x)$ e $g \(x)$ , a resultante pode ser definida através da matriz Sylvester

Res (f, g) = det S (f, g) .

Sobre um corpo e considerando raízes em um fechamento algébrico

Res (f, g) = 0 ⟺ f y g tienen una ra \overset{ı}{ˊ} z com \overset{u}{ˊ} n .

Detecta algebricamente se dois polinômios compartilham uma raiz e serve como ferramenta de eliminação.

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Seção 11

Polinômios

Divisão euclidiana

intermediário

P (x) = D (x) Q (x) + R (x), de g R < de g D

Divide polinômios com quociente e resto.

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Teorema do resto

intermediário

P (x) \div (x - a) \Rightarrow R = P (a)

O resto ao dividir por x-a é P(a).

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Teorema do fator

intermediário

P (a) = 0 ⟺ (x - a) es factor de P (x)

Relaciona raízes e fatores lineares.

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Fatoração por raízes

intermediário

P (x) = a_{n} k = 1 \prod n (x - r_{k})

Fatoração completa sobre um corpo que contém as raízes.

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Fórmulas de Vieta

intermediário

r_{1} + r_{2} = - \frac{b}{a}; r_{1} r_{2} = \frac{c}{a}

Relaciona as raízes e os coeficientes de uma quadrática.

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Teorema da raiz racional

intermediário

r = p / q \Rightarrow p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}

Restringe os candidatos racionais para raízes de um polinômio inteiro.

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Polinômio multivariável

intermediárioviz

P (x_{1}, \dots, x_{n}) = α \sum c_{α} x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}},

Generaliza polinômios de variável única para expressões em diversas variáveis algébricas.

Ver detalhe →

onde $α = (α_{1}, \dots, α_{n})$ é um índice múltiplo de inteiros não negativos.

Multi-índice e grau total

intermediárioviz

x_{1}^{α_{1}} \dots x_{n}^{α_{n}},

Forma equivalente

∣ α ∣ = α_{1} + \dots + α_{n} .

Forma equivalente

de g P = c_{α} \neq = 0 max ∣ α ∣.

Mede o grau de termos multivariáveis somando seus expoentes.

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seu grau total é

O grau total de um polinômio diferente de zero é

Polinômio homogêneo

intermediárioviz

Exemplo

P (x, y) = x^{2} + 3 x y + 2 y^{2}

Forma equivalente

P (t x_{1}, \dots, t x_{n}) = t^{d} P (x_{1}, \dots, x_{n}) .

Cada termo tem o mesmo grau total.

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é homogêneo de grau $2$ .

Uma propriedade característica é

Sistema de equações polinomiais

avançadoviz

⎩ ⎨ ⎧ P_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0 ⋮ P_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0.

Encontra pontos que satisfazem simultaneamente vários polinômios.

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Matriz resultante e Sylvester

avançadoviz

Para dois polinômios univariados $f \(x)$ e $g \(x)$ , a resultante pode ser definida através da matriz Sylvester

Res (f, g) = det S (f, g) .

Sobre um corpo e considerando raízes em um fechamento algébrico

Res (f, g) = 0 ⟺ f y g tienen una ra \overset{ı}{ˊ} z com \overset{u}{ˊ} n .

Detecta algebricamente se dois polinômios compartilham uma raiz e serve como ferramenta de eliminação.

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