4. Produtos e identidades notáveis
Teorema binomial
Nível: intermediário
Detalhe
Explore a ideia
Cada término tiene tres partes: un coeficiente binomial, una potencia de a y una potencia de b.
Los coeficientes aparecen en la fila n del triángulo de Pascal. El exponente de a baja de n a 0, mientras el de b sube de 0 a n. En cada término, los exponentes suman n.
Fórmula general
(a+b)5 = Σk=05 C(5,k)·an−kbk
Secuencia: elegir n → coeficientes C(n,k) → exponentes an−kbk → formar cada término → sumar.
Triángulo de Pascal
Coeficientes para n = 5 (fila resaltada)
Recurrencia: C(5,2) = C(4,1)+C(4,2) = 4+6 = 10
Patrón de exponentes
exp(a): 5 → 4 → 3 → 2 → 1 → 0 (baja de 5 a 0)
exp(b): 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 (sube de 0 a 5)
En cada término: (n−k)+k = n · grado total = 5
Términos Tk = C(5,k)·a5−kbk
Hay exactamente 6 términos (k = 0…5). Pulsa una tarjeta para ver detalles.
T2 = C(5,2)·a³b² = 10·a³b² = 10a³b²
C(5,2) = 5! / (2!·3!) = 120 / (2·6) = 10
El coeficiente 10 y el monomio a³b² forman un único término: 10a³b².
Expansión completa
1a⁵b⁰ + 5a⁴b¹ + 10a³b² + 10a²b³ + 5a¹b⁴ + 1a⁰b⁵
(a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
[1, 5, 10, 10, 5, 1] ⇒ a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
(3+2)⁵ = 3.13e+3
1·3⁵·2⁰=243 + 5·3⁴·2¹=810 + 10·3³·2²=1.08e+3 + 10·3²·2³=720 + 5·3¹·2⁴=240 + 1·3⁰·2⁵=32
243 + 810 + 1.08e+3 + 720 + 240 + 32 = 3.13e+3
Comprobación: (3+2)⁵ = 3.13e+3 ✓
(a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
Expansión de a más b elevado a 5. Para k=0, el coeficiente es 1, el exponente de a es 5 y el de b es 0. El término es a⁵. Para k=1, el coeficiente es 5, el exponente de a es 4 y el de b es 1. El término es 5a⁴b. Para k=2, el coeficiente es 10, el exponente de a es 3 y el de b es 2. El término es 10a³b². Para k=3, el coeficiente es 10, el exponente de a es 2 y el de b es 3. El término es 10a²b³. Para k=4, el coeficiente es 5, el exponente de a es 1 y el de b es 4. El término es 5ab⁴. Para k=5, el coeficiente es 1, el exponente de a es 0 y el de b es 5. El término es b⁵. Suma: a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵.