24. Matrixnormen und Konditionierung
Konditionsnummer
Niveau: fortgeschritten
Für eine invertierbare Matrix und eine kompatible Norm
Im Standard 2
Detail
Es misst die Empfindlichkeit eines linearen Problems gegenüber kleinen Störungen in den Daten.
Idee erkunden
Du siehst: Die Konditionszahl sagt, ob ein System fehlerempfindlich ist.
Probier’s — Mache (kleines ): Das Netz flacht ab und das Problem wird schlecht konditioniert.
Aproximación de bajo rango
Se truncan las componentes singulares pequeñas: A_k = Σ_{i≤k} σ_i u_i v_iᵀ conserva la energía dominante y descarta el resto.
Pruébalo — Mueve k y observa barras, A_k y el residual. En Compresión compara almacenamiento mn vs k(m+n+1).
Eckart–Young: A_k es óptima en ‖·‖F y ‖·‖₂ entre las matrices de rango ≤ k.
k2
rango exacto = 4k = 2energía 97.4%‖A−Aₖ‖F = 1.54‖A−Aₖ‖₂ ≈ σ3 = 1.5
Valores singulares σᵢ
8.4σ1
4.1σ2
1.5σ3
0.35σ4
conservados (i≤k) descartados
Ak = σ1 u1 v1ᵀ + σ2 u2 v2ᵀ
A
7.91.1-1.10.80.640.6-0.1-0.70.61.60.30.5-0.60.10.51.50.4-0.60.2
Aₖ
7.91.2-1.30.80.63.90.9-0.03-0.90.90.4-0.10.5-0.6-0.20.11.60.3-0.20.2
A − Aₖ
0.04-0.10.20.02-0.10.1-0.3-0.030.2-0.31.20.40.02-0.10.30.4-0.10.1-0.30.01
k=2/4 · energía 97.4% · ‖A−Aₖ‖F=1.54
Bedingungen
- Die Formel \|A\|\|A^{-1}\| erfordert, dass A invertierbar ist.
- Für eine singuläre Matrix wird die Konditionszahl in diesem Zusammenhang als unendlich betrachtet.