24. Matrixnormen und Konditionierung

Induzierte Matrixnorm

Niveau: fortgeschritten

In

Formel

∥ A ∥_{p} = x \neq = 0 max \frac{∥ A x ∥ _{p}}{∥ x ∥ _{p}} .

Äquivalent

∥ A ∥_{p} = ∥ x ∥_{p} = 1 max ∥ A x ∥_{p} .

Detail

Es misst den maximalen Faktor, mit dem eine Matrix Vektoren gemäß einer gegebenen Norm verstärken kann.

Vas a ver que una norma matricial inducida mide el mayor estiramiento que A puede producir sobre un vector.

Pruébalo — Mueve x sobre la bola unitaria y observa cómo cambia ‖Ax‖_p. Busca la dirección donde el estiramiento es máximo.

Norma: ‖A‖_2

Entrada

Salida

Vector x

x = (0.81, -0.58)

‖x‖_2 = 1

Imagen Ax

Ax = (0.74, -0.28)

‖Ax‖_2 = 0.79

Estiramiento = 0.79

‖Ax‖_2 actual0.79

‖A‖_2 (techo)1.43

‖Ax‖_2 ≤ ‖A‖_2 → 0.79 ≤ 1.43

Mantener ‖x‖_2=1

p = 2 · ‖A‖_2 = 1.43 · estiramiento actual = 0.79