9. Sistemas de ecuaciones

Criterio de Rouché-Capelli

Nivel: intermedio

Fórmula

rank (A) = rank ([A ∣ b]) = n o rank (A) = rank ([A ∣ b]) < n o rank (A) \neq = rank ([A ∣ b])

Detalle

Clasifica sistemas según rangos y número de incógnitas.

Explora la idea

Primero compara los rangos. Si son distintos, el sistema es incompatible. Si son iguales, compáralos con el número de incógnitas: si el rango es n, hay una solución; si es menor que n, hay infinitas.

Criterio completo: rank(A) frente a rank([A∣b]) y, si coinciden, frente a n.

Casos pedagógicos

Matriz aumentada · [A∣b]

A · coeficientesb · términos indep.

Sistema: { 2x+y=5 ; x+3y=4 }

Razonamiento

rank(A) = 2

rank([A∣b]) = 2

n = 2

Compara rank(A) con rank([A∣b]): 2 = 2 (compatibles)
Como son iguales, compara con n: 2 = 2

2 = 2 = 2 ⇒ una solución

Clasificación

Una solución

rank(A) = rank([A∣b]) = n

det(A) = 5 ≠ 0 ⇒ A invertible y, con n = 2, rank(A) = 2: el criterio da una solución.

Ver cómo se obtiene el rango

Tip: edita celdas o carga un caso. El razonamiento rank(A) → rank([A∣b]) → n se actualiza al instante.

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