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26. Aritmética modular

Teorema chino del resto

Nivel: avanzado

Fórmula

x \equiv a_{i} (mod n_{i}); N = i \prod n_{i}

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26. Aritmética modular

Nivel: avanzado

Fórmula

x \equiv a_{i} (mod n_{i}); N = i \prod n_{i}

Detalle

Sistemas con módulos coprimos tienen solución única módulo N.

Vas a sincronizar dos relojes modulares: buscamos un mismo x que deje el residuo a módulo m₁ y el residuo b módulo m₂.

Pruébalo — Cambia los módulos y residuos y observa dónde coinciden ambas secuencias.

CONGRUENCIA 1

a=3

x ≡ 3 (mod 7)

CONGRUENCIA 2

a=5

x ≡ 0 (mod 5)

Normalizamos 5 módulo 5 → 0 (x ≡ 5 ≡ 0 (mod 5))

gcd(7,5)=1módulos coprimos ✓Periodo M = 35 = 7·5

módulo 7 · objetivo 3

x ≡ 3 (mod 7)

x =

0 mod 7 = 0 ✗

0 mod 5 = 0 ✓

Todavía no coincide

módulo 5 · objetivo 0

x ≡ 0 (mod 5)

Primera congruencia x ≡ 3 mod 7. Segunda x ≡ 0 mod 5. Solución x ≡ 10 mod 35.

x ≡ 3 (mod 7) · x ≡ 0 (mod 5) · x=0 · (0,0) · solución x ≡ 10 (mod 35)

Relacionada
Congruencia modular
$a \equiv b (mod n) ⟺ n ∣ (a - b)$
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