23. Matrixzerlegungen
Spektrale Zerlegung
Niveau: fortgeschritten
Formel
Detail
Spektralform realer symmetrischer Matrizen.
Idee erkunden
Descomposición espectral
Si A es real y simétrica (A = Aᵀ), el teorema espectral garantiza una base ortonormal de autovectores: A = QΛQᵀ.
Pruébalo — Prueba presets (definida / indefinida / semidefinida). En Direcciones propias arrastra x; en Diagonalización reproduce Original → Qᵀ → Λ → Q → A.
Los autovalores λᵢ miden estiramiento (o inversión) a lo largo de qᵢ. Nunca son valores singulares: aquí el signo importa.
A = Aᵀ ✓BASE ORTONORMALPOSITIVA DEFINIDA
Espectro (autovalores λᵢ)
3.618λ1
1.382λ2
Eje cero · barras hacia arriba = λ > 0 · abajo = λ < 0
Aq₁ = λ₁ q₁ · (3.078, 1.902) ≈ (3.078, 1.902)
λ₁=3.618 · λ₂=1.382 · q₁⊥q₂ · A=QΛQᵀ ✓