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Calcul II

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1Notation, domaines et conventions
2Intégrale indéfinie et propriétés
3Intégrale définie et Théorème Fondamental du Calcul
4Méthode de substitution
5Intégration par parties
6Intégrales trigonométriques
7Substitution trigonométrique et radicaux quadratiques
8Fonctions rationnelles et fractions partielles
9Intégrales impropres
10Applications de l'intégrale
11Intégration numérique
12Courbes paramétriques
13Coordonnées polaires
14Suites et séries
15Séries de puissances et de Taylor
16Équations différentielles élémentaires
17Guide pour choisir une méthode
AAnnexe A : table étendue de primitives
BAnnexe B : équivalences utiles

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Calcul II
A.7. Intégrales avec $a^{2} + u^{2}$

Contenu

A.7. Intégrales avec $a^{2} + u^{2}$

Conditions réelles usuelles : $u \neq = 0$ ; lorsque $u$ apparaît au dénominateur, $u \neq = 0$ .

Radicaux de somme de carrés (substitution hyperbolique ou trigonométrique :

u = a tan θ

).

\int a^{2} + u^{2} d u = \frac{u}{2} a^{2} + u^{2} + \frac{a ^{2}}{2} ln u + a^{2} + u^{2} + C

$ln u + a^{2} + u^{2} + C$

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\int u^{2} a^{2} + u^{2} d u = \frac{u}{8} (a^{2} + 2 u^{2}) a^{2} + u^{2} - \frac{a ^{4}}{8} ln u + a^{2} + u^{2} + C

$ln u + a^{2} + u^{2} + C$

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\int \frac{a ^{2} + u ^{2}}{u} d u = a^{2} + u^{2} - a ln \frac{a + a ^{2} + u ^{2}}{u} + C

$ln \frac{a + a ^{2} + u ^{2}}{u} + C$

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\int \frac{a ^{2} + u ^{2}}{u ^{2}} d u = - \frac{a ^{2} + u ^{2}}{u} + ln u + a^{2} + u^{2} + C

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\int \frac{d u}{a ^{2} + u ^{2}} = ln u + a^{2} + u^{2} + C

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\int \frac{u ^{2} d u}{a ^{2} + u ^{2}} = \frac{u}{2} a^{2} + u^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln u + a^{2} + u^{2} + C

$ln u + a^{2} + u^{2} + C$

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\int \frac{d u}{u a ^{2} + u ^{2}} = - \frac{1}{a} ln \frac{a ^{2} + u ^{2} + a}{u} + C

$ln \frac{a ^{2} + u ^{2} + a}{u} + C$

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\int \frac{d u}{u ^{2} a ^{2} + u ^{2}} = - \frac{a ^{2} + u ^{2}}{a ^{2} u} + C

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\int \frac{d u}{( a ^{2} + u ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{u}{a ^{2} a ^{2} + u ^{2}} + C

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