28. Linear codes and error correction

Minimum distance, detection, and correction

Level: advanced

In 28. Linear codes and error correction

Formula

d_{m i n} = c_{1} \neq = c_{2} min d_{H} (c_{1}, c_{2}) .

Equivalent form

d_{m i n} - 1

Equivalent form

t = ⌊ \frac{d _{m i n} - 1}{2} ⌋

For a linear code

d_{m i n} = c \neq = 0 min w_{H} (c) .

Detail

The separation between codewords determines the theoretical detection and correction capability.

Explore the idea

Vas a ver cómo la separación mínima entre palabras código determina cuántos errores podemos detectar y corregir con garantía.

Pruébalo — Cambia d_min y observa cómo cambian el número de errores detectables y el radio de corrección.

Distancia mínima

d_min = 3

Detección

d_min−1 = 2

errores garantizados

Corrección

t = 1

⌊(3−1)/2⌋

Separación mínima

d_min = min d_H(c_i, c_j) entre palabras código distintas

c₁123c₂

d_H(c₁, c₂) = 3

Detectar: e ≤ d_min−1 = 2

Corregir: t = ⌊(d_min−1)/2⌋ = 1

Distancia mínima · d_min3

d_min=3 · detecta 2 · corrige 1

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d_{m i n} = c_{1} \neq = c_{2} min d_{H} (c_{1}, c_{2}) .

Equivalent form

d_{m i n} - 1

Equivalent form

t = ⌊ \frac{d _{m i n} - 1}{2} ⌋

For a linear code

d_{m i n} = c \neq = 0 min w_{H} (c) .

Detail

The separation between codewords determines the theoretical detection and correction capability.

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Vas a ver cómo la separación mínima entre palabras código determina cuántos errores podemos detectar y corregir con garantía.

Pruébalo — Cambia d_min y observa cómo cambian el número de errores detectables y el radio de corrección.

Distancia mínima

d_min = 3

Detección

d_min−1 = 2

errores garantizados

Corrección

t = 1

⌊(3−1)/2⌋

Separación mínima

d_min = min d_H(c_i, c_j) entre palabras código distintas

c₁123c₂

d_H(c₁, c₂) = 3

Detectar: e ≤ d_min−1 = 2

Corregir: t = ⌊(d_min−1)/2⌋ = 1

Distancia mínima · d_min3

d_min=3 · detecta 2 · corrige 1