21. Orthogonality and projections
Orthogonal projection
Level: intermediate
Formula
Detail
Projects a vector onto the direction of another.
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Proyección ortogonal · proj_v(u)
La proyección ortogonal es la sombra de u sobre la dirección de v: proj_v(u) = ((u·v)/(v·v)) · v.
Pruébalo — Arrastra u (teal) y v (verde). El punto naranja P es la proyección sobre la recta span(v); el segmento discontinuo es el residuo r ⊥ v.
u = proj_v(u) + r con r · v = 0. El coeficiente c no se acota a [0,1].
Proyección positivar · v ≈ 0 ✓c = 0.9
u = proj_v(u) + r
proj_v(u) = c · v = 0.9 · (3, 1) = (2.7, 0.9)
r = u − proj = (-0.7, 2.1) · r·v ≈ 0 ✓
Escalar v (α ≠ 0) no cambia la proyección; −v da el mismo proj.
proj = 0.9 · v · r·v ≈ 0 ✓