Mathematische Formeln

Analysis II

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Abschnitte

1Notation, Definitionsbereiche und Konventionen
2Unbestimmtes Integral und Eigenschaften
3Bestimmtes Integral und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
4Substitutionsmethode
5Partielle Integration
6Trigonometrische Integrale
7Trigonometrische Substitution und quadratische Wurzeln
8Rationale Funktionen und Partialbruchzerlegung
9Uneigentliche Integrale
10Anwendungen des Integrals
11Numerische Integration
12Parameterkurven
13Polarkoordinaten
14Folgen und Reihen
15Potenzreihen und Taylor-Reihen
16Elementare Differentialgleichungen
17Leitfaden zur Wahl einer Methode
AAnhang A: umfangreiche Tabelle von Stammfunktionen
BAnhang B: nützliche Äquivalenzen

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Analysis II
A.7. Integrale mit $a^{2} + u^{2}$

Inhalt

A.7. Integrale mit $a^{2} + u^{2}$

Übliche reelle Bedingungen: $u \neq = 0$ ; falls $u$ im Nenner vorkommt, $u \neq = 0$ .

Radikale aus Quadratsummen (hyperbolische oder trigonometrische Substitution:

u = a tanh

bzw.

u = a tan θ

).

\int a^{2} + u^{2} d u = \frac{u}{2} a^{2} + u^{2} + \frac{a ^{2}}{2} ln u + a^{2} + u^{2} + C

$ln u + a^{2} + u^{2} + C$

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\int u^{2} a^{2} + u^{2} d u = \frac{u}{8} (a^{2} + 2 u^{2}) a^{2} + u^{2} - \frac{a ^{4}}{8} ln u + a^{2} + u^{2} + C

$ln u + a^{2} + u^{2} + C$

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\int \frac{a ^{2} + u ^{2}}{u} d u = a^{2} + u^{2} - a ln \frac{a + a ^{2} + u ^{2}}{u} + C

$ln \frac{a + a ^{2} + u ^{2}}{u} + C$

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\int \frac{a ^{2} + u ^{2}}{u ^{2}} d u = - \frac{a ^{2} + u ^{2}}{u} + ln u + a^{2} + u^{2} + C

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\int \frac{d u}{a ^{2} + u ^{2}} = ln u + a^{2} + u^{2} + C

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\int \frac{u ^{2} d u}{a ^{2} + u ^{2}} = \frac{u}{2} a^{2} + u^{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln u + a^{2} + u^{2} + C

$ln u + a^{2} + u^{2} + C$

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\int \frac{d u}{u a ^{2} + u ^{2}} = - \frac{1}{a} ln \frac{a ^{2} + u ^{2} + a}{u} + C

$ln \frac{a ^{2} + u ^{2} + a}{u} + C$

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\int \frac{d u}{u ^{2} a ^{2} + u ^{2}} = - \frac{a ^{2} + u ^{2}}{a ^{2} u} + C

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\int \frac{d u}{( a ^{2} + u ^{2} ) ^{3/2}} = \frac{u}{a ^{2} a ^{2} + u ^{2}} + C

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